您好、欢迎来到现金彩票网!
当前位置:八马彩票 > 概念分类 >

数形结合思想整体思想分类讨论方程转换及10个例题

发布时间:2019-07-07 21:54 来源:未知 编辑:admin

  可选中1个或多个下面的关键词,搜索相关资料。也可直接点“搜索资料”搜索整个问题。

  配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

  最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

  配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)=a+2ab+b,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:

  【简解】 1小题:利用等比数列性质aa=a,将已知等式左边后配方(a+a)易求。答案是:5。

  2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a)+(y-b)=r,解r0即可,选B。

  3小题:已知等式经配方成(sinα+cosα)-2sinαcosα=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。

  4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。

  例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。

  【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。

  【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:。

  【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。

  例2. 设方程x+kx+2=0的两实根为p、q,若()+()≤7成立,求实数k的取值范围。

  【解】方程x+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2 ,

  又 ∵p、q为方程x+kx+2=0的两实根, ∴ △=k-8≥0即k≥2或k≤-2

  【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。

  【分析】 对已知式可以联想:变形为()+()+1=0,则=ω (ω为1的立方虚根);或配方为(a+b)=ab 。则代入所求式即得。

  【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。

  【另解】由a+ab+b=0变形得:()+()+1=0 ,解出=后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式()+()后,完成后面的运算。此方法用于只是未联想到ω时进行解题。

  假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a+ab+b=0解出:a=b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。

  α、β是方程x-2ax+a+6=0的两实根,则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。

  6. 设F和F为双曲线的两个焦点,点P在双曲线°,则△FPF的面积是_________。

  ② 是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)0 ?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。

  解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

  换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

  它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

  换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4+2-2≥0,先变形为设2=t(t0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

  三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=+的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sinα ,α∈[0,],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x+y=r(r0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

  我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和α∈[0,]。

  【简解】1小题:设sinx+cosx=t∈[-,],则y=+t-,对称轴t=-1,当t=,y=+;

  3小题:已知变形为-=-1,设b=,则b=-1,b=-1+(n-1)(-1)=-n,所以a=-;

  4小题:设x+y=k,则x-2kx+1=0, △=4k-4≥0,所以k≥1或k≤-1;

  例1. 实数x、y满足4x-5xy+4y=5 ( ①式) ,设S=x+y,求+的值。(93年全国高中数学联赛题)

  【分析】 由S=x+y联想到cosα+sinα=1,于是进行三角换元,设代入①式求S和S的值。

  此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α=的有界性而求,即解不等式:≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

  【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S=x+y与三角公式cosα+sinα=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x+y而按照均值换元的思路,设x=+t、y=-t,减少了元的个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的几种方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。

  和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x、y时,可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a+13b=5 ,求得a∈[0,],所以S=(a-b)+(a+b)=2(a+b)=+a∈[,],再求+的值。

  例2. △ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B,+=-,求cos的值。(96年全国理)

  【分析】 由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得 ;由“A+C=120°”进行均值换元,则设 ,再代入可求cosα即cos。

  即:sin=-,=-,代入sin+cos=1整理得:3m-16m-12=0,解出m=6,代入cos==。

  【注】 本题两种解法由“A+C=120°”、“+=-2”分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以+=-=-2,即cosA+cosC=-2cosAcosC,和积互化得:

  【注】 此题属于局部换元法,设sinx+cosx=t后,抓住sinx+cosx与sinx·cosx的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(t∈[-,])与sinx+cosx对应,否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

  一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

  例4. 设对所于有实数x,不等式xlog+2x log+log0恒成立,求a的取值范围。(87年全国理)

  【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系?进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。

  代入后原不等式简化为(3-t)x+2tx-2t0,它对一切实数x恒成立,所以:

  【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元,关键是发现已知不等式中log、 log、log三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”。另外,本题还要求对数运算十分熟练。一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点。

  【解】 设==k,则sinθ=kx,cosθ=ky,且sinθ+cosθ=k(x+y)=1,代入②式得: +== 即:+=

  【另解】 由==tgθ,将等式②两边同时除以,再表示成含tgθ的式子:1+tgθ==tgθ,设tgθ=t,则3t—10t+3=0,

  【注】 第一种解法由=而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为=,不难发现进行结果为tgθ,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。

  例6. 实数x、y满足+=1,若x+y-k0恒成立,求k的范围。

  【分析】由已知条件+=1,可以发现它与a+b=1有相似之处,于是实施三角换元。

  【注】本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角换元法”。

  本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法:在平面直角坐标系,不等式ax+by+c0 (a0)所表示的区域为直线所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终位于平面上x+y-k0的区域。即当直线在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时,方程组有相等的一组实数解,消元后由△=0可求得k=-3,所以k-3时原不等式恒成立。

  设等差数列{a}的公差d=,且S=145,则a+a+a+……+a的值为_____。

  在等比数列{a}中,a+a+…+a=2,a+a+…+a=12,求a+a+…+a。

  实数m在什么范围内取值,对任意实数x,不等式sinx+2mcosx+4m-10恒成立。

  已知矩形ABCD,顶点C(4,4),A点在曲线)上移动,且AB、AD始终平行x轴、y轴,求矩形ABCD的最小面积。

  要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

  待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。

  比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。

  【简解】1小题:由f(x)=+m求出f(x)=2x-2m,比较系数易求,选C;

  2小题:由不等式解集(-,),可知-、是方程ax+bx+2=0的两根,代入两根,列出关于系数a、b的方程组,易求得a+b,选D;

  4小题:由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值,再代入求得答案;

  【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m、n的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

  【解】 函数式变形为: (y-m)x-4x+(y-n)=0, x∈R, 由已知得y-m≠0

  不等式①的解集为(-1,7),则-1、7是方程y-(m+n)y+(mn-12)=0的两根,

  此题也可由解集(-1,7)而设(y+1)(y-7)≤0,即y-6y-7≤0,然后与不等式①比较系数而得:,解出m、n而求得函数式y。

  【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m、n。两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n的方程求解;二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”:将y视为参数,函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数y的不等式,解出y的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。

http://essexappliance.net/gainianfenlei/745.html
锟斤拷锟斤拷锟斤拷QQ微锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷微锟斤拷
关于我们|联系我们|版权声明|网站地图|
Copyright © 2002-2019 现金彩票 版权所有